Inhaltszusammenfassung

Untersucht werden in der vorliegenden Arbeit Versionen des Satzes von Michlin f¨r Pseudodiffe- u rentialoperatoren mit nicht-regul¨ren banachraumwertigen Symbolen und deren Anwendungen a auf die Erzeugung analytischer Halbgruppen von solchen Operatoren auf vektorwertigen Sobo- levr¨umen Wp (Rn , E), wobei k ∈ N0 , 1 ≤ p ≤ ∞ und E ein Banachraum ist. a k ...Untersucht werden in der vorliegenden Arbeit Versionen des Satzes von Michlin f¨r Pseudodiffe- u rentialoperatoren mit nicht-regul¨ren banachraumwertigen Symbolen und deren Anwendungen a auf die Erzeugung analytischer Halbgruppen von solchen Operatoren auf vektorwertigen Sobo- levr¨umen Wp (Rn , E), wobei k ∈ N0 , 1 ≤ p ≤ ∞ und E ein Banachraum ist. a k F¨r einen beliebigen Banachraum E und beliebige L(E)−wertige Symbole ist es unm¨glich u o einen Satz von Michlin auf Lp (R n , E) zu erhalten. Deshalb ersetzen wir den L −Raum durch p den Vektorraum V (Rn , E), der durch die Vereinigung aller Besovr¨ume Bp,q (Rn , E) erkl¨rt a s a ist. F¨r Banachr¨ume Ei , i = 0, 1, 2, Skalare m ∈ R, l, ρ ∈ N mit ρ ≥ 2l > n und Symbo- u a m,ρ le a ∈ S1,0 (Rn , E1 ) , die beschr¨nkte stetige Ableitungen bis zur Ordnung ρ besitzen, wird a gezeigt, dass es eine eindeutige lineare Abbildung a (D) : V (Rn , E2 ) −→ V (Rn , E0 ) gibt, so dass a (D) ∈ L(Bp,q (Rn , E2 ) , Bp,q (Rn , E0 )) und ihre Restriktion auf jeder Schnittmenge s+m s ∞ Cb (Rn , E2 ) ∩ Bp,q (Rn , E2 ) (s ∈ R, p, q ∈ [1, ∞]) mit der klassischen Definition des Pseu- s+m dodifferentialoperators a(D), der in [Ku,81] durch ein oszillatorisches Integral definiert wurde, ubereinstimmt. Mit Hilfe dieser Version des Satzes von Michlin wird bewiesen, dass geeignete Re- ¨ striktionen des Operators −a (D) analytische Halbgruppen auf den Besovr¨umen Bp,q (Rn , E0 ) a s und C ∞ −Halbgruppen auf den Sobolevr¨umen Wp (Rn , E0 ) erzeugen. a k Weiterhin wird aus a (D) ∈ L(Bp,q (Rn , E2 ) , Bp,q (Rn , E0 )), der stetigen Einbettung s+m s Bp,1 (Rn , E) → Wp (Rn , E) → Bp,∞ (Rn , E) k k k ( 1 ≤ p ≤ ∞) k und einigen Eigenschaften der Interpolationstheorie hergeleitet, dass die Wp −Realisierung eines parabolischen Pseudodifferentialoperators, dessen entsprechendes Symbol einen m−homogenen Hauptteil besitzt, der negative Erzeuger einer analytischen Halbgruppe auf Wp (Rn , E0 ) ist k (und sogar eine stark stetige Halbgruppe, wenn p 0, 0 ≤ δ ≤ 1, ρ ≥ 2l > n), f¨r den a (x, D) ∈u L Bp,qs+m (Rn , E ) , B s (Rn , E ) gilt, wenn − (1 − δ) r » weiterlesen» einklappen

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DDC Sachgruppe:
Mathematik